单调队列

一、算法描述

本篇文章讲述的数据结构是单调队列，主要用于解决 滑动窗口 类问题的数据结构，即，在长度为 \(n\) 的序列中，求每个长度为 \(m\) 的区间的区间最值，时间复杂度 \(O(n)\)。

思路如下：

• 用一个队列 \(q[N]\) 来存储可能是答案的下标。

• 先判断是否滑出了窗口，如果滑出了则删除队头元素 \(q[hh]\)。

  • \(q[hh]\) 相比于队列中其他元素是最早进来的，所以判断是否在滑动窗口内用 \(q[hh]\) 来判断

    • 如果队列中没有元素，\(i\) 刚好成为 \(q[hh]\)
    • 如果队列中已经存储了元素，\(q[hh]\) 比 \(i\) 早进入队列
    • 所以 \(q[hh]\) 是最早进入队列的

• 根据单调性，新来的元素如果比之前的元素小，那么只要当前元素存在，则之前的数不可能作为答案，所以可以从队尾出队，直到队尾元素比当前元素还小，或者队列为空

• 将当前元素加入队列

• 输出答案

序列中的每个数 \(x\) ，最多只会入队一次、出队一次，所以最多只有 \(2n\) 次操作，最终时间复杂度为 \(O(n)\)。

二、题目描述

给定一个大小为 \(n≤10^6\) 的数组。

有一个大小为 \(k\) 的滑动窗口，它从数组的最左边移动到最右边。

你只能在窗口中看到 \(k\) 个数字。

每次滑动窗口向右移动一个位置。

以下是一个例子：

该数组为 [1 3 -1 -3 5 3 6 7]，\(k\) 为 \(3\)。

你的任务是确定滑动窗口位于每个位置时，窗口中的最大值和最小值。

输入格式

输入包含两行。

第一行包含两个整数 \(n\) 和 \(k\)，分别代表数组长度和滑动窗口的长度。

第二行有 \(n\) 个整数，代表数组的具体数值。

同行数据之间用空格隔开。

输出格式

输出包含两个。

第一行输出，从左至右，每个位置滑动窗口中的最小值。

第二行输出，从左至右，每个位置滑动窗口中的最大值。

输入样例：

8 3
1 3 -1 -3 5 3 6 7 

输出样例：

-1 -3 -3 -3 3 3
3 3 5 5 6 7 

三、题目来源

四、源代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1000010;

int n, k;
int a[N], q[N];

int main()
{
    cin >> n >> k;
    for (int i = 0; i < n; ++i) cin >> a[i];
    
    int hh = 0, tt = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
    {
        if (hh < tt && q[hh] < i - k + 1)   hh ++ ;
        while (hh < tt && a[q[tt - 1]] >= a[i]) tt -- ;
        
        q[tt ++ ] = i;
        
        if (i >= k - 1) cout << a[q[hh]] << ' ';
    }
    puts("");
    
    hh = 0, tt = 0;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
    {
        if (hh < tt && q[hh] < i - k + 1)   hh ++ ;
        while (hh < tt && a[q[tt - 1]] <= a[i]) tt -- ;
        
        q[tt ++ ] = i;
        
        if (i >= k - 1) cout << a[q[hh]] << ' ';
    }
    
    return 0;
}

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